Top Module Empty
Analiza matematyczna PDF Drukuj E-mail
Napisa�: Maciej Muras   
Friday, 01 June 2007

PROGRAM

PRZEDMIOT

Analiza matematyczna

SPECJALNOŚĆ

Matematyka z informatyką

WYMIAR ZAJĘĆ

404 g. (sem.1 -  2g.w +2 g ćw. tyg.,   sem.2 - 2g.w +4 g ćw. tyg.,            sem.3 -  2g.w +2 g ćw. tyg.,   sem.4 -2g.w + 2 g ćw. tyg.,            sem.5 -  2g.w +2 g ćw. tyg.,   sem.4 -2g.w + 2 g ćw. tyg.)

ROK (SEMESTR)

I-III rok (sem.1-6)
 
CELE KSZTAŁCENIA

Nauczenie studentów pojęć i twierdzeń klasycznej analizy matematycznej funkcji jednej i wielu zmiennych. Stopień opanowania wiedzy powinien pozwalać na biegłe rozwiązywanie problemów, które mogą być rozwiązane przy pomocy metod analizy matematycznej.

  
MATERIAŁ NAUCZANIA

1. Aksjomatyka liczb rzeczywistych, kresy, aksjomat ciągłości i wnioski z tego aksjomatu. Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych (informacyjnie).

2. Granica ciągu, warunki zbieżności (konieczne, wystarczające, konieczne i wystarczające). Własności algebraiczne ciągów zbieżnych, własności porządkowe ciągów zbieżnych. Podciągi. Granice pewnych ciągów specjalnych.

3. Szeregi liczbowe – kryteria zbieżności (warunek konieczny, WKW Cauchy’ego, kryterium porównawcze, Cauchy’ego, d’Alemberta, Weierstrassa, szereg przemienny). Własności algebraiczne szeregów (łączność, przemienność). Działania na szeregach liczbowych. Twierdzenie Mertensa.

4. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej. Równoważność definicji Heinego i Cauchy’ego. Własności algebraiczne i porządkowe granicy funkcji. Pewne specjalne granice (w zerze) wybranych funkcji. Własności lokalne i globalne funkcji ciągłej. Ciągłość złożenia i funkcji odwrotnej, ciągłośc funkcji cyklometrycznych.

5. Pochodna funkcji w punkcie, interpretacja fizyczna i geometryczna, związek z ciągłością. Funkcja pochodna. Własności algebraiczne pochodnej funkcji, pochodne funkcji elementarnych. Pojęcie różniczki, pochodnych i różniczek wyższych rzędów. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle’a, Lagrange’a, Cauchy’ego) i wnioski z tych twierdzeń. Monotoniczność, ekstrema, wypukłość i punkt przegięcia funkcji. Wzór Taylora i jego zastosowania do badania funkcji.

6. Ciągi i szeregi funkcyjne, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności funkcji zachowywane przy przejściu granicznym (punktowym i jednostajnym). Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Szeregi potęgowe, promień zbieżności szeregu potęgowego, tw. Cauchy’ego-Hadamarda. Własności sumy szeregu potęgowego. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.

7. Całka nieoznaczona, całki z funkcji elementarnych, podstawowe metody całkowania, całki z funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych. Całka oznaczona – interpretacja geometryczna, warunki całkowalności (konieczne wystarczające, konieczne i wystarczające). Całka górnej granicy całkowania i jej własności. Metody obliczania całki oznaczonej. Twierdzenia o wartości średniej dla całki oznaczonej.

8. Szereg Fouriera, rozwijanie funkcji w szereg Fouriera, tw.Fejera (informacyjnie).

9. Całka niewłaściwa – warunki zbieżności, zastosowania.

10. granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Własności lokalne i globalne (ma zbiorze spójnym i zwartym) funkcji ciągłych wielu zmiennych.

11. Pochodne funkcji wielu zmiennych (cząstkowe, kierunkowe, Gateaux i silna), związek z ciągłością. Różniczka funkcji wielu zmiennych. Pochodne i różniczki wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych. Tw. O równości pochodnych mieszanych. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych – war.konieczny i war. wystarczający dla istnienia ekstremum. Funkcje uwikłane. Ekstrema funkcji uwikłanych. Ekstrema warunkowe. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej.

12. Całka oznaczona z funkcji wielu zmiennych w prostokącie. Warunki całkowalności (konieczne, wystarczające, konieczne i wystarczające). Całki iterowane, tw. O równości całek iterowanych. Zastosowanie całek wielokrotnych (objętości, pole płata, momenty). T w. o zmianie zmiennych w całkach wielokrotnych (informacyjnie). Całki niewłaściwe. Całka z parametrem. Różniczkowanie pod znakiem całki. Funkcja G-Eulera.

13. Miara i całka Lebesgue’a (informacyjnie, z wybranymi dowodami). s-ciała,  s-ciał generowane przez rodzinę zbiorów. Zbiory borelowskie. Przekroje i ich własności. Iloczyn kartezjański s-ciał. Funkcje mierzalne i ich własności. Miara, miara zewnętrzna, tw. Caratheodory’ego. Całka Lebesgue’a i jej podstawowe własności. Zbieżność prawie wszędzie i zbieżność wg.miary. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Iloczyn kartezjański miar, Twierdzenie Fubiniego.

  
PROCEDURY OSIĄGANIA CELÓW EDUKACYJNYCH

Wykłady. Ćwiczenia do wykładów. Praca w grupach kontrolowana przez wykładowcę. Indywidualne konsultacje. Ćwiczenia typu seminaryjnego (referaty studentów na temat wybranych zagadnień.

  
ZAŁOŻONE OSIĄGNIĘCIA I METODY OCENY

Opanowanie pojęć i twierdzeń analizy pozwalające na biegłe rozwiązywanie zagadnień typowych dla analizy oraz poprawne zastosowanie tych pojęć i twierdzeń w innych działach matematyki (równaniach różniczkowych, geometrii różniczkowej, analizie funkcjonalnej itd.)

   
ZAŁOŻENIA DYDAKTYCZNE KONCEPCJI PROGRAMU
 

Wykład nie powinien ograniczać się do matematycznych treści abstrakcyjnych, lecz jak najszerzej uwypuklać źródła tych treści, w szczególności nawiązywać do treści przyrodniczych, praktycznych oraz do tzw. matematyki szkolnej. Prowadzący musi pamiętać o uwzględnieniu w wykładzie wiadomości wykorzystywanych na innych przedmiotach studiów ( geometria, topologia, rachunek prawdopodobieństwa)

 
LITERATURA

1.A.Birkholc, Analiza matematyczna PWN, Warszawa (1986).

2.L.M.Drużkowski, Analiza matematyczna, podstawy Wyd.U.J., Kraków (1998)

3.K.Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (1967).

4. F.Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (1967).

5. S.Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa (1973).

6.W.Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa (1982).

7.R.Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy,

Zbiory zadań:

1.G.N.Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wyd. Pracowni komputerowej

                         J.Skalmierskiego, Gliwice (1999)

2. W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa (1983).

3.L.Siewierski, Ćwiczenia z analizy matematycznej z zastosowaniami, PWN, Warszawa

                         (1981).

4. E.Wachnicki, Z.Powązka, Problemy analizy matematycznej w zadaniach, I.M.A.P. w

                                              Krakowie (2002)

5. J.Banaś, S.Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wyd.Nauk.-Techn.

                                               Warszawa (1994)

 
 
wstecz   dalej »

 Czuli barbarzyńcy

Województwo Śląskie

QR Kod

Zeskanuj kod i dodaj KN do kontaktów swojego telefonu:

 

Konteksty Kultury

konteksty_male.jpg
© 2017 Portal Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku-Bia�ej
Joomla! is Free Software released under the GNU/GPL License.