Top Module Empty
Algebra z geometrią PDF Drukuj E-mail
Napisa�: Maciej Muras   
Friday, 01 June 2007

PROGRAM

 

PRZEDMIOT

Algebra z geometrią

 

SPECJALNOŚĆ

Matematyka z informatyką

 

WYMIAR ZAJĘĆ

240 godzin, 1 sem.(2w+3ćw), 2 sem. (2w+3ćw), 3 sem. (2w+2ćw), 4 sem. (1w+1ćw)

 

ROK (SEMESTR)

I i II (4semestry)

 

 
CELE KSZTAŁCENIA
 

Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry i

algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz z

algebraizacją geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi w

rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

  
MATERIAŁ NAUCZANIA

Semestr 1

 

Grupa, podgrupa, podgrupa generowana. Grupy cykliczne, abelowe.

Grupy przekształceń, w szczególności grupy przekształceń

płaszczyzny (np. izometrii i podobieństw). Grupy permutacji.

Homomorfizmy, izomorfizmy struktur

jednodziałaniowych, ich niezmienniki.

Pierścień, ciało, podpierścień, podciało, podpierścień generowany,

podciało generowane. Ciało liczb zespolonych i jego podciała.

Przykłady ciał skończonych. Charakterystyka ciała.

Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.

Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie, podprzestrzenie generowane.

Przestrzeń ilorazowa. Liniowa niezależność układu wektorów, baza

przestrzeni (podprzestrzeni), wymiar

przestrzeni (podprzestrzeni), współrzędne wektora. Suma prosta.

Przekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego.

Macierze, macierz przekształcenia liniowego. Algebra liniowa, w

szczególności algebra macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeni

liniowej.

 

Semestr 2

 

Wyznaczniki. Rząd macierzy, macierz odwrotna do macierzy

nieosobliwej.

Układy równań liniowych.

Macierz przejścia od bazy do bazy, związki miedzy współrzędnymi

wektora w różnych bazach, związki miedzy macierzami

przekształcenia liniowego w

różnych bazach.

Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej,

diagonalizacja macierzy.

Przekształcenia dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja macierzowa.

Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna, formy

określone

dodatnio i ujemnie.

Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacja

Schmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej.

Przekształcenia ortogonalne, macierzowe reprezentacje

przekształceń ortogonalnych. Orientacja przestrzeni. Iloczyn

wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

 

Semestr 3

 

Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe własności, podprzestrzenie.

Układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów,

kombinacja barycentryczna punktów, zbiory wypukłe, sympleksy,

równoległościany. Objętości sympleksów i równoległościanów.

Przekształcenia afiniczne.

Przestrzeń afiniczna euklidesowa, podstawowe pojęcia geometrii

euklidesowej. Podprzestrzenie, bazy prostopadłe, prostokątne

układy współrzędnych w

E^{3}.

Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne.

Wzajemne

położenie płaszczyzn. Kąt miedzy płaszczyznami, pęk płaszczyzn.

Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe.

Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt

między prostą i płaszczyzną, odległość prostych skośnych.

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.

Elipsa, hiperbola, parabola - podstawowe własności afiniczne i

metryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny i

biegunowe,

asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów.

Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy; podstawowe

własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie

przekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne,

powierzchnie

obrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.

Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopnia

drugiego.

Grupa izometrii, grupa podobieństw, reprezentacje analityczne

izometrii i podobieństw.

 

Semestr 4

 

Twierdzenie Lagrange'a i twierdzenie

Cayley'a. Dzielniki normalne, kongruencje, grupy ilorazowe.

Ideały, kongruencje, ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu.

Pierścienie ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o homomorfizmie

pierścieni.  Pierścienie wielomianów. Pierścień

całkowity, ciało ułamków pierścienia całkowitego.

 Elementy teorii liczb (małe twierdzenie Fermata) - przykłady

zastosowań.

  
PROCEDURY OSIĄGANIA CELÓW EDUKACYJNYCH
 

Zajęcia będą odbywać się w formie wykładów i ćwiczeń. Prowadzący wykład i prowadzący ćwiczenia tworzą zespół przedmiotowy, realizujący treści programowe według jednolitego systemu we wszystkich grupach ćwiczeń.

 
ZAŁOŻONE OSIĄGNIĘCIA I METODY OCENY
 

Zakładane efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: znajomość definicji aksjomatycznych struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa, przestrzeń euklidesowa), opisywanie i analizowanie podstawowych modeli struktur algebraicznych,  umiejętność przeprowadzania rozumowań w ramach aksjomatyki struktur algebraicznych, umiejętność definiowania i analizowania podstawowych własności tworów

geometrycznych w przestrzeniach euklidesowych, znajomość podstawowych faktów z teorii liczb.

Metody oceny: systematyczna ocena na ćwiczeniach , kolokwia, sprawdziany, egzaminy pisemne i ustne.

  
ZAŁOŻENIA DYDAKTYCZNE KONCEPCJI PROGRAMU
  

Kształtowanie tzw. idei głębokich tworów matematycznych, umiejętność posługiwania się formami powierzchniowymi idei głębokich tworów matematycznych, analiza modeli formalnych idei głębokich tworów matematycznych, występujących w matematyce szkolnej.

Realizacja treści programowych powinna być ściśle związana z treściami matematyki szkolnej. Materiał powinien być realizowany w taki sposób, aby przygotować studentów do podjęcia matematycznych studiów drugiego stopnia .

  
LITERATURA

J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami

geometrii, Wydawnictwo UJ, Kraków 1999.

B. Gleichgewicht Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004.

F. Leja Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1969.

A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Podstawy

algebry liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 2000.

M. Moszyńska Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa 1989.

S. Przybyło, A. Szlachtowski Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1993.

J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.

 
 

PROGRAM

 

PRZEDMIOT

Algebra z geometrią

 

SPECJALNOŚĆ

Matematyka z rewalidacją uczniów niepełnosprawnych intelektualnie

 

WYMIAR ZAJĘĆ

240 godzin, 1 sem.(2w+3ćw), 2 sem. (2w+3ćw), 3 sem. (2w+2ćw), 4 sem. (1w+1ćw)

 

ROK (SEMESTR)

I i II (4semestry)

 

 

CELE KSZTAŁCENIA

 

Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry i

algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz z

algebraizacją geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi w

rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

  

MATERIAŁ NAUCZANIA

Semestr 1

 

Grupa, podgrupa, podgrupa generowana. Grupy cykliczne, abelowe.

Grupy przekształceń, w szczególności grupy przekształceń

płaszczyzny (np. izometrii i podobieństw). Grupy permutacji.

Homomorfizmy, izomorfizmy struktur

jednodziałaniowych, ich niezmienniki.

Pierścień, ciało, podpierścień, podciało, podpierścień generowany,

podciało generowane. Ciało liczb zespolonych i jego podciała.

Przykłady ciał skończonych. Charakterystyka ciała.

Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.

Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie, podprzestrzenie generowane.

Przestrzeń ilorazowa. Liniowa niezależność układu wektorów, baza

przestrzeni (podprzestrzeni), wymiar

przestrzeni (podprzestrzeni), współrzędne wektora. Suma prosta.

Przekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego.

Macierze, macierz przekształcenia liniowego. Algebra liniowa, w

szczególności algebra macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeni

liniowej.

 

Semestr 2

 

Wyznaczniki. Rząd macierzy, macierz odwrotna do macierzy

nieosobliwej.

Układy równań liniowych.

Macierz przejścia od bazy do bazy, związki miedzy współrzędnymi

wektora w różnych bazach, związki miedzy macierzami

przekształcenia liniowego w

różnych bazach.

Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej,

diagonalizacja macierzy.

Przekształcenia dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja macierzowa.

Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna, formy

określone

dodatnio i ujemnie.

Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacja

Schmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej.

Przekształcenia ortogonalne, macierzowe reprezentacje

przekształceń ortogonalnych. Orientacja przestrzeni. Iloczyn

wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

 

Semestr 3

 

Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe własności, podprzestrzenie.

Układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów,

kombinacja barycentryczna punktów, zbiory wypukłe, sympleksy,

równoległościany. Objętości sympleksów i równoległościanów.

Przekształcenia afiniczne.

Przestrzeń afiniczna euklidesowa, podstawowe pojęcia geometrii

euklidesowej. Podprzestrzenie, bazy prostopadłe, prostokątne

układy współrzędnych w

E^{3}.

Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne.

Wzajemne

położenie płaszczyzn. Kąt miedzy płaszczyznami, pęk płaszczyzn.

Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe.

Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt

między prostą i płaszczyzną, odległość prostych skośnych.

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.

Elipsa, hiperbola, parabola - podstawowe własności afiniczne i

metryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny i

biegunowe,

asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów.

Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy; podstawowe

własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie

przekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne,

powierzchnie

obrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.

Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopnia

drugiego.

Grupa izometrii, grupa podobieństw, reprezentacje analityczne

izometrii i podobieństw.

 

Semestr 4

 

Twierdzenie Lagrange'a i twierdzenie

Cayley'a. Dzielniki normalne, kongruencje, grupy ilorazowe.

Ideały, kongruencje, ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu.

Pierścienie ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o homomorfizmie

pierścieni.  Pierścienie wielomianów. Pierścień

całkowity, ciało ułamków pierścienia całkowitego.

 Elementy teorii liczb (małe twierdzenie Fermata) - przykłady

zastosowań.

  

PROCEDURY OSIĄGANIA CELÓW EDUKACYJNYCH

 

Zajęcia będą odbywać się w formie wykładów i ćwiczeń. Prowadzący wykład i prowadzący ćwiczenia tworzą zespół przedmiotowy, realizujący treści programowe według jednolitego systemu we wszystkich grupach ćwiczeń.

 

ZAŁOŻONE OSIĄGNIĘCIA I METODY OCENY

 

Zakładane efekty kształcenia – umiejętności i kompetencje: znajomość definicji aksjomatycznych struktur algebraicznych (grupa, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa, przestrzeń euklidesowa), opisywanie i analizowanie podstawowych modeli struktur algebraicznych,  umiejętność przeprowadzania rozumowań w ramach aksjomatyki struktur algebraicznych, umiejętność definiowania i analizowania podstawowych własności tworów

geometrycznych w przestrzeniach euklidesowych, znajomość podstawowych faktów z teorii liczb.

Metody oceny: systematyczna ocena na ćwiczeniach , kolokwia, sprawdziany, egzaminy pisemne i ustne.

  

ZAŁOŻENIA DYDAKTYCZNE KONCEPCJI PROGRAMU

 

Kształtowanie tzw. idei głębokich tworów matematycznych, umiejętność posługiwania się formami powierzchniowymi idei głębokich tworów matematycznych, analiza modeli formalnych idei głębokich tworów matematycznych, występujących w matematyce szkolnej.

Realizacja treści programowych powinna być ściśle związana z treściami matematyki szkolnej. Materiał powinien być realizowany w taki sposób, aby przygotować studentów do podjęcia matematycznych studiów drugiego stopnia .

  

LITERATURA

J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami

geometrii, Wydawnictwo UJ, Kraków 1999.

B. Gleichgewicht Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004.

F. Leja Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1969.

A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Podstawy

algebry liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 2000.

M. Moszyńska Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa 1989.

S. Przybyło, A. Szlachtowski Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1993.

J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.

     
 
wstecz   dalej »

 Czuli barbarzyńcy

Województwo Śląskie

QR Kod

Zeskanuj kod i dodaj KN do kontaktów swojego telefonu:

 

Konteksty Kultury

konteksty_male.jpg
© 2017 Portal Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku-Bia�ej
Joomla! is Free Software released under the GNU/GPL License.